Un calcul d'aire - Nouvelle-Calédonie, août 2023

On considère le cube $\mathrm{ABCDEFGH}$ d'arête $1$ représenté ci-dessous.
On note $\text{K}$ le milieu du segment $[\mathrm{HG}]$ .
On se place dans le repère orthonormé  $(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}})$ .

1. Justifier que les points $\text{C}$ , $\text{F}$ et $\text{K}$ définissent un plan.

2. a. Donner, sans justifier, les longueurs $\mathrm{KG}$ , $\mathrm{GF}$ et $\mathrm{GC}$ .
    b. Calculer l'aire du triangle $\mathrm{FGC}$ .
    c. Calculer le volume du tétraèdre $\mathrm{FGCK}$ .
On rappelle que le volume $V$  d'un tétraèdre est donné par :  $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathcal{B}\times h$ , où  $\mathcal{B}$  est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.

3. a. On note  $\overrightarrow{n}$  le vecteur de coordonnées $(1;2;1)$ . Démontrer que   $\overrightarrow{n}$   est normal au plan $(\mathrm{CFK})$ .
    b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{CFK})$ est  $x+2y+z-3=0$ .

4. On note $∆$ la droite passant par le point $\text{G}$ et orthogonale au plan $(\mathrm{CFK})$ . Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $∆$ est  $\{\begin{array}{lcl}x& =& 1+t\\ y& =& 1+2t\\ z& =& 1+t\end{array}$  avec  $t\in \mathbb{R}$ .

5. Soit $\text{L}$ le point d’intersection entre la droite $∆$ et le plan $(\mathrm{CFK})$ .
    a. Déterminer les coordonnées du point $\text{L}$ .
    b. En déduire que  $\text{LG}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$ .

6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle $\mathrm{CFK}$ .